Study with Quizlet and memorize flashcards containing terms like D: Maksimum, D: Minimum, D: Supremum and more. Liczba rzeczywista 2013-04-09 21:51; Sprawdzenie czy dana liczba jest całkowita 2015-05-14 19:19; Sprawdzenie czy wprowadzony element jest liczba rzeczywista 2015-03-09 13:48; Reszta float jako liczba całkowita 2009-11-19 20:01; Wynik jako liczba całkowita 2015-11-13 14:35 [Delphi] Sprawdzenie czy liczba całkowita 2005-01-29 20:11 Najmniejsza liczba, której suma cyfr ma wynosić 2021 musi składać się z jak najmniejszej ilości cyfr. W związku z tym, muszą to być to cyfry oznaczające jak największą liczbę. Sprawdźmy ile cyfr 9 mieści się w tej sumie: 2021 : 9 = 224 + r5. Czyli mogłaby być to liczba. ale 5 + 9 = 14 jak i również 6 + 8 = 14 i 7 + 7 = 14. rzeczywista = 7.5 rzeczywista = float(38) Liczby rzeczywiste zazwyczaj zapisuje się w pamięci komputera za pomocą tzw. techniki zmiennego przecinka (z ang. floating point), stąd często stosowana nazwa – liczba zmiennoprzecinkowa. Praktyczną konsekwencją jest to, że liczba jest zapisywana z określoną dokładnością. Kiedy uczniowie zapoznają się z oryginałempojęcie liczb naturalnych, na krawędzi szeregu liczb jest rozsądne, aby umieścić elipsę i wyjaśnić, że największa i najmniejsza liczba jest bezcelowa. Zawsze istnieje możliwość dodania jednej do największej liczby i nie będzie ona już większa. Największa liczba trzycyfrowa gdzie iloczyn cyfr jest równy 8. c) Najmniejsza liczba trzycyfrowa gdzie różnica między cyfrą. setek i cyfrą dziesiątek jest równa 3. Największa liczba trzycyfrowa gdzie różnica między cyfrą. setek i cyfrą dziesiątek jest równa 3. d) Najmniejsza liczba trzycyfrowa gdzie różnica między cyfrą. Minimalna wartość niepewności systematycznej jest określona dokładnością stosowanego przyrządu (dokładnością odczytu czyli „najmniejszą działką”). Wartość rzeczywista (x rz), którą szacujemy w przedziale zbudowanym za pomocą niepewności systematycznej ∆x, zawarta jest w tym przedziale z prawdopodobieństwem 1 A) iloraz w nawiasie zmniejszył się, więc wynik dzielenia 8888 przez ten iloraz będzie większy. B) iloraz 8888:8887 jest mniejszy niż 8888:8885. C) 8888>8887 i 8888>8885. N i A. Iloraz w nawiasie zmniejszył się, więc wynik dzielenia 8888 przez ten iloraz będzie większy. Suma liczb dodatnich x i y jest równa 10. Liczbami rzeczywistymi nazywamy zbiór wszystkich liczb – zarówno wymiernych, jak i niewymiernych. Do ich oznaczenia wykorzystujemy symbol: ℝ. Przy omawianiu liczb rzeczywistych warto powrócić do podstawowych informacji o rodzajach liczb. Wyróżniamy m.in.: liczby naturalne, liczby całkowite, liczby wymierne, liczby niewymierne. Najmniejsza Wspólna Wielokrotność to pojęcie matematyczne, które odnosi się do najmniejszej liczby, przez którą dzielą się dwie, lub więcej liczby całkowite. Najmniejsza Wspólna Wielokrotność (w skrócie NWW ), dwóch liczb naturalnych a i b jest to liczba ze zbioru wszystkich liczb naturalnych, która jest jednocześnie JPVv4t. Liczby rzeczywiste są to wszystkie liczby wymierne i niewymierne. Liczby rzeczywiste można utożsamiać z punktami na osi liczbowej. Każdej liczbie rzeczywistej można przyporządkować jeden punkt na osi liczbowej i na odwrót, każdy punkt na osi liczbowej odpowiada dokładnie jednej liczbie rzeczywistej. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy jako \(R\) i obejmuje on wszystkie rodzaje liczb. Każda liczba rzeczywista, gdy jest liczbą wymierną ma rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe, a gdy jest liczbą niewymierną - nieskończone nieokresowe. Moc zbior liczb rzeczywistych wynosi continuum \(\mathfrak{c}\). W zbiorze liczb rzeczywistych wykonywane są następujące działania: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie. Przykłady liczb rzeczywistych: \(0, \: 7, \: \sqrt{15}, \: \pi, \: \dfrac{1}{2}\) Zobacz również Obwód trapezu Twierdzenie Talesa Kąt ostry Granica ciągu Zdarzenia niezależne Zdarzenie losowe Ciąg arytmetyczny NWW - Najmniejsza wspólna wielokrotność Obwód równoległoboku Kąt pełny Nierówności z wartością bezwzględną Przestrzeń probabilistyczna Hiperbola Mnożenie ułamków dziesiętnych Dowód - istota Liczba r jest najmniejszą liczbą rzeczywistą spełniającą nierówność I I ≤ . Zakoduj pierwsze trzy cyfry rozwinięcia dzisiętnego liczby r musialmi Użytkownik Posty: 3466 Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: PWr ocław Podziękował: 382 razy Pomógł: 434 razy Ciągła funkcja Nauczyciel na wykładzie zaprezentował funkcję, która dla liczb wymiernych przyjmuje 0, a dla niewymiernych 1 i powiedział, że ta funkcja jest ciągła. Jest to dla mnie niezrozumiałe, bo funkcja ciągła, dla której dziedziną są liczby rzeczywiste, kojarzy mi się tak, że jej wykres jest nieprzerwaną prostą, łamaną, krzywą, łukiem, czymkolwiek, jednak nieprzerwanym. A wykres tej funkcji to niepołączone ze sobą punkty. Czy fakt, że przeciwdziedzina to tylko 0 i 1, ma coś tu do rzeczy? Czy ta funkcja ma jakąś nazwę? Napiszcie mi coś ciekawego o niej Dilectus Użytkownik Posty: 2649 Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Warszawa Pomógł: 368 razy Ciągła funkcja Post autor: Dilectus » 26 lut 2014, o 09:30 Jest to funkcja Dirichleta. Poczytaj o niej np. tu: . Cytuję z tego źródła: Funkcja ta ma szczególne własności: • jest wszędzie nieciągła (tzn. nie jest ciągła w żadnym punkcie swojej dziedziny), w szczególności, nie jest różniczkowalna, • jest okresowa, przy czym ma ona nieskończenie wiele okresów (każda liczba wymierna jest jej okresem) i nie ma okresu podstawowego, • zbiór jej ekstremów jest mocy continuum, • nie jest całkowalna w sensie Riemanna – w zależności od doboru podziału przedziału całkowania, aproksymacja prostokątami może dać dowolną sumę od zera do długości przedziału, zatem granica definiująca całkę Riemanna nie istnieje, • jest całkowalna w sensie Lebesgue'a, przy czym jej całka Lebesgue'a na dowolnym przedziale jest równa zeru, ponieważ zbiór liczb wymiernych jest miary Lebesgue'a zero. a4karo Użytkownik Posty: 20382 Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Bydgoszcz Podziękował: 27 razy Pomógł: 3452 razy Ciągła funkcja Post autor: a4karo » 26 lut 2014, o 09:46 Ale jak już dotarłeś do takich dziwnych funkcji, to popatrz na takie coś: \(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}0 & x\not\in \QQ\\ \frac{1}{m} & x=\frac{k}{m}, NWD(k,m)=1\end{cases}.}\) ta funkcja jest ciągła w każdym punkcie niewymiernym. musialmi Użytkownik Posty: 3466 Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: PWr ocław Podziękował: 382 razy Pomógł: 434 razy Ciągła funkcja Post autor: musialmi » 26 lut 2014, o 11:26 Dilectus pisze: • jest wszędzie nieciągła (tzn. nie jest ciągła w żadnym punkcie swojej dziedziny), w szczególności, nie jest różniczkowalna, Musiałem coś porąbać, tzn. źle zapamiętać. Ale teraz rodzi się nowe pytanie! Jak funkcja może być okresowa, nie mając okresu podstawowego i mając nieskończenie wiele okresów? Zresztą chyba nie znam żadnej funkcji, która ma więcej niż jeden okres i niezbyt rozumiem o co w tym chodzi, jak by to miało na wykresie wyglądać. A poczytam o niej później i jeszcze napiszę jakieś pytania, jeśli będę miał ;p @a4karo NWD to największy wspólny dzielnik, tak? Dobrze rozumiem, że dla 2 wartość funkcji to 1 (x=2, k=2, m=1)? I dla 3 tak samo? Chyba źle rozumiem. bakala12 Użytkownik Posty: 3044 Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Gołąb Podziękował: 24 razy Pomógł: 513 razy Ciągła funkcja Post autor: bakala12 » 26 lut 2014, o 14:08 Jak funkcja może być okresowa, nie mając okresu podstawowego i mając nieskończenie wiele okresów? Zresztą chyba nie znam żadnej funkcji, która ma więcej niż jeden okres i niezbyt rozumiem o co w tym chodzi, jak by to miało na wykresie wyglądać. Funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest okresowa, jeśli istnieje liczba \(\displaystyle{ T>0}\) i dla każdego \(\displaystyle{ x}\) z dziedziny funkcji zachodzi równość: \(\displaystyle{ f\left( x+T\right)=f\left( x\right)}\) Liczbę \(\displaystyle{ T}\) spełniającą powyższy warunek nazywamy okresem funkcji. Twierdzenie: Każda funkcja okresowa ma nieskończenie wiele okresów. Dowód: Funkcja jest okresowa więc posiada jakiś okres \(\displaystyle{ T>0}\). Wówczas łatwo przez indukcję pokazać, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ nT}\) także jest okresem tej funkcji. Stąd wynika teza twierdzenia. Zatem tak naprawdę każda funkcja okresowa ma nieskończenie wiele okresów. Def: Okresem podstawowym (zasadniczym) funkcji okresowej nazywamy najmniejszy z jej okresów (jeżeli taki istnieje). W kontekście tych faktów funkcja Dirichleta jest oczywiście okresowa, a jej okresem jest oczywiście każda liczba wymierna. Dowód: Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie funkcją Dirichleta. Niech \(\displaystyle{ q}\) będzie dowolną liczbą wymierną. Weźmy najpierw dowolny \(\displaystyle{ x \in \QQ}\). Mamy oczywiście: \(\displaystyle{ f\left( x+q\right) =1=f\left( x\right)}\) (suma dwóch liczb wymiernych jest wymierna). Jeśli zaś \(\displaystyle{ x \in \RR \setminus \QQ}\) to także \(\displaystyle{ f\left( x+q\right) =0=f\left( x\right)}\) (bo suma liczby wymiernej i niewymiernej jest niewymierna). Zatem ostatecznie dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR}\) i dla dowolnej liczby wymiernej \(\displaystyle{ q}\) zachodzi \(\displaystyle{ f\left( x+q\right) =f\left( x\right)}\) Funkcja Dirichleta nie posiada okresu podstawowego (bo nie istnieje najmniejsza liczba wymierna dodatnia). Podobnie na przykład każda funkcja stała jest okresowa, jej okresem jest dowolna liczba rzeczywista dodatnia, ale funkcja ta nie posiada okresu podstawowego (okres musi być dodatni, a nie istnieje przecież najmniejsza liczba rzeczywista dodatnia). Jeśli masz jakieś jeszcze pytania to śmiało pisz, postaram się wyjaśnić a4karo Użytkownik Posty: 20382 Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Bydgoszcz Podziękował: 27 razy Pomógł: 3452 razy Ciągła funkcja Post autor: a4karo » 26 lut 2014, o 14:14 Tak. Przedstawiasz wymierne \(\displaystyle{ x}\) w postaci nieskracalnej \(\displaystyle{ \frac{k}{m}}\) i kładziesz \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{m}}\). Np. \(\displaystyle{ f(\frac{5}{2})=\frac{1}{2}, f(\frac{72}{9})=1}\) Ostatnio zmieniony 26 lut 2014, o 14:18 przez bakala12, łącznie zmieniany 1 raz. Powód: Ułamek tworzymy używając \frac{}{}. musialmi Użytkownik Posty: 3466 Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: PWr ocław Podziękował: 382 razy Pomógł: 434 razy Ciągła funkcja Post autor: musialmi » 26 lut 2014, o 20:37 bakala12 pisze: W kontekście tych faktów funkcja Dirichleta jest oczywiście okresowa, a jej okresem jest oczywiście każda liczba wymierna. Dowód: Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie funkcją Dirichleta. Niech \(\displaystyle{ q}\) będzie dowolną liczbą wymierną. Weźmy najpierw dowolny \(\displaystyle{ x \in \QQ}\). Mamy oczywiście: \(\displaystyle{ f\left( x+q\right) =1=f\left( x\right)}\) (suma dwóch liczb wymiernych jest wymierna). Jeśli zaś \(\displaystyle{ x \in \RR \setminus \QQ}\) to także \(\displaystyle{ f\left( x+q\right) =0=f\left( x\right)}\) (bo suma liczby wymiernej i niewymiernej jest niewymierna). Zatem ostatecznie dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR}\) i dla dowolnej liczby wymiernej \(\displaystyle{ q}\) zachodzi \(\displaystyle{ f\left( x+q\right) =f\left( x\right)}\) Funkcja Dirichleta nie posiada okresu podstawowego (bo nie istnieje najmniejsza liczba wymierna dodatnia). Podobnie na przykład każda funkcja stała jest okresowa, jej okresem jest dowolna liczba rzeczywista dodatnia, ale funkcja ta nie posiada okresu podstawowego (okres musi być dodatni, a nie istnieje przecież najmniejsza liczba rzeczywista dodatnia). Super sprytne! I nawet zrozumiałem po chwili namysłu. Kurczę, matematyka jest wspaniała. Dziękuję. @a4karo Czyli jednak No to ciekawie. Dziękuję za przykład. PS ta funkcja jest ciągła w każdym punkcie niewymiernym Ale w niektórych wymiernych również, prawda? A czy to prawda, że każda liczba niewymierna jest okresem tej funkcji? Jeśli tak, to rozumiem dlaczego. Jeśli nie, to nie rozumiem dlaczego. bakala12 Użytkownik Posty: 3044 Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Gołąb Podziękował: 24 razy Pomógł: 513 razy Ciągła funkcja Post autor: bakala12 » 26 lut 2014, o 21:06 Ale w niektórych wymiernych również, prawda? A czy to prawda, że każda liczba niewymierna jest okresem tej funkcji? Jeśli tak, to rozumiem dlaczego. Jeśli nie, to nie rozumiem dlaczego. Na te pytania nie odpowiem dopóki a4karo nie poprawi swojej funkcji tak, żeby była jednoznacznie określona w punkcie \(\displaystyle{ x=0}\). a4karo Użytkownik Posty: 20382 Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Bydgoszcz Podziękował: 27 razy Pomógł: 3452 razy Ciągła funkcja Post autor: a4karo » 26 lut 2014, o 21:52 Oj, to prawda . Ona w zerze ma wartość zero. W ten sposób jest nieciągła w każdym punkcie wymiernym. bakala12 Użytkownik Posty: 3044 Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Gołąb Podziękował: 24 razy Pomógł: 513 razy Ciągła funkcja Post autor: bakala12 » 26 lut 2014, o 22:42 Ona w zerze ma wartość zero. W ten sposób jest nieciągła w każdym punkcie wymiernym. W \(\displaystyle{ x=0}\) jest ciągła Ale w pozostałych punktach wymiernych jest już nieciągła tak, jak mówisz. a4karo Użytkownik Posty: 20382 Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Bydgoszcz Podziękował: 27 razy Pomógł: 3452 razy Ciągła funkcja Post autor: a4karo » 27 lut 2014, o 07:35 Aj, bo napisałem 0, a chciałem napisać 1. Trudno, wtopiłem. Jest jeszcze jedna nieścisłość w mojej definicji. Żeby doprecyzować, ustalmy, że \(\displaystyle{ m>0}\). A zatem pełna definicja; \(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}0 & x\not\in \QQ\\ 1 & x=0\\ 1/m & x=k/m, (k,m)=1, m>0, n,m\in\ZZ\end{cases}}\) Gdyby jakaś liczba niewymierna \(\displaystyle{ r}\) była jej okresem, to przy dowolnym wymiernym \(\displaystyle{ w}\) mielibyśmy \(\displaystyle{ f(w)=f(w+r)}\). Ale \(\displaystyle{ w+r}\) jest niewymierne, więc... \(\displaystyle{ f}\) jest jednak funkcją okresową i nawet ma okres podstawowy. Poszukaj go Dilectus Użytkownik Posty: 2649 Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Warszawa Pomógł: 368 razy Ciągła funkcja Post autor: Dilectus » 27 lut 2014, o 09:11 f jest jednak funkcją okresową i nawet ma okres podstawowy. Poszukaj go Moja nieśmiała propozycja: \(\displaystyle{ T=1?}\) a4karo Użytkownik Posty: 20382 Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Bydgoszcz Podziękował: 27 razy Pomógł: 3452 razy Ciągła funkcja Post autor: a4karo » 27 lut 2014, o 09:15 Zadanie dla musialmi: udowodnij, że \(\displaystyle{ T=1}\) jest okresem podstawowym. musialmi Użytkownik Posty: 3466 Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: PWr ocław Podziękował: 382 razy Pomógł: 434 razy Ciągła funkcja Post autor: musialmi » 27 lut 2014, o 10:21 Nie sądzę, że umiem to udowodnić. Dla każdego \(\displaystyle{ x}\) całkowitego (zarówno dodatniego, jak i ujemnego) \(\displaystyle{ k=x, m=1}\). Zatem dla całkowitych \(\displaystyle{ x}\) istnieje zależność \(\displaystyle{ f\left( x\right)=f\left( x+1\right)=f\left( x+T\right)}\) (\(\displaystyle{ f\left( 0\right)=1}\) z definicji). Dla \(\displaystyle{ x}\) wymiernych \(\displaystyle{ f\left( x\right)= \frac{1}{m}}\). Zakładając, że 1 jest okresem, to \(\displaystyle{ f\left( x+1\right)=\frac{1}{m}}\). Zatem \(\displaystyle{ f\left( \frac{k}{m}\right) =f\left( x\right)=f\left( x+1\right)=f\left( \frac{k+m}{m}\right)}\). Zatem \(\displaystyle{ f\left( \frac{k}{m} \right)=f\left( \frac{k+m}{m} \right) = \frac{1}{m}}\). I rzeczywiście tak jest. Dla \(\displaystyle{ x}\) niewymiernych funkcja przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 0}\). W każdym przedziale \(\displaystyle{ \left( x; x+a\right)}\) dla \(\displaystyle{ a \in \mathbb{R_+}}\) jest tyle samo liczb niewymiernych. Zatem każda liczba jest okresem dla takiego przypadku. W takim razie, \(\displaystyle{ 1}\) jest okresem. No i teraz w temacie tego, że jest okresem PODSTAWOWYM. Jeśli istniałby mniejszy okres, to musiałby należeć do przedziału \(\displaystyle{ \left( 0;1\right)}\) oraz być prezentowalnym w postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{2^{n}}}\), żeby spełniał warunek z pierwszego akapitu. No i zapewne ta postać koliduje jakoś z warunkiem z drugiego akapitu. Ale nie wiem jak i dlaczego. No i oprócz tego problemu na samym końcu, nie wiem czy pozostałe dowody są w porządku. leszczu450 Użytkownik Posty: 4414 Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Toruń Podziękował: 1589 razy Pomógł: 364 razy Ciągła funkcja Post autor: leszczu450 » 27 lut 2014, o 10:33 Przydatny jest też następujacy fakt: Zbiór punktów ciągłości funkcji \(\displaystyle{ f}\) jest zbiorem typu \(\displaystyle{ G_{\delta}}\). Zbiór punktów nieciągłości tej funkcji jest zbiorem \(\displaystyle{ F_{\sigma}}\).